推定

$\mathrm{N}(\mu,\sigma^{2}/n)$ に従う $\bar{X}$ を標準化すると \[ Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \] は $\mathrm{N}(0,1)$ に従う。

$Z_{\alpha/2}$ は確率と \[ P(-Z_{\alpha/2}\le Z\le Z_{\alpha/2})=1-\alpha \] という関係にある。

かっこの中の不等式は標準化の式を使うと \[ -Z_{\alpha/2}\le \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\le Z_{\alpha/2} \] となり、これを変形すると \[ \mu-Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\le \bar{X}\le \mu+Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \] となる。

したがって \[ P\left(\mu-Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\le \bar{X}\le \mu+Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)=1-\alpha \] が成り立つ。

このかっこの中の不等式は二つの不等式に分解できる。 \begin{eqnarray*} &&\mu-Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\le \bar{X}\\ &&\bar{X}\le \mu+Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*} これをそれぞれ移項すると \begin{eqnarray*} &&\mu\le \bar{X}+Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\\ &&\bar{X}-Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\le \mu \end{eqnarray*} となる。 すると $\mu$ をはさむ形の不等式にできることが分かる。 \[ \bar{X}-Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\le \mu\le \bar{X}+Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

したがって \[ P\left(\bar{X}-Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\le \mu\le \bar{X}+Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)=1-\alpha \] が成り立つ。